FORMULAS FOR NUMERICAL DIFFERENTIATION ON A UNIFORM GRID IN THE PRESENCE OF A BOUNDARY LAYER

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of numerical differentiation of functions with large gradients is considered. It is assumed that for the original function of one variable the decomposition is valid as the sum of a regular component with bounded derivatives up to a certain order and a boundary layer component having large gradients and known with an accuracy of up to a factor. Such a decomposition, in particular, is valid for solution of a singularly perturbed boundary value problem. The topic of the study is relevant, since the application of classical polynomial formulas of numerical differentiation to functions with large gradients can lead to significant errors. The error of the formulas of numerical differentiation, according to the construction of exact ones on the boundary layer component of the original function, is estimated. The results of numerical experiments are presented, consistent with the obtained error estimates.

About the authors

A. I. Zadorin

Institute of Mathematics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences

Email: zadorin@ofim.oscsbras.ru
Novosibirsk, 630090 Russia

References

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
  2. Задорин А. И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сиб. ж. вычисл. матем. 2007. Т. 10. N 3. С. 267–275.
  3. Zadorin A. I., Zadorin N. A. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation // Sib. Electron. Math. Rep. 2012. V. 9. P. 445–455.
  4. Kellogg R. B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points // Math. Comput. 1978. V. 32. P. 1025–1039.
  5. Задорин А. И., Задорин Н. А. Неполиномиальная интерполяция функций с большими градиентами и ее применение // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. N 2. С. 179–188.
  6. Il’in V. P., Zadorin A. I. Adaptive formulas of numerical differentiation of functions with large gradients // J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1260. 042003.
  7. Zadorin A., Tikhovskaya S. Formulas of numerical differentiation on a uniform mesh for functions with the exponential boundary layer // Internat. J. Numer. Anal. Model. 2019. V. 16. N 4. P. 590–608.
  8. Задорин А. И. Формулы численного дифференцирования функций с большими градиентами // Сиб. ж. вычисл. матем. 2023. Т. 26. N 1. С. 17–26.
  9. Задорин А. И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Шишкина при наличии пограничного слоя // Сиб. ж. вычисл. матем. 2018. Т. 21. N 3. С. 243–254.
  10. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.
  11. Задорин А. И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. N 2. С. 218–226.
  12. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. N 4. С. 841–890.
  13. Roos H. G. Layer-adapted meshes: milestones in 50 years of history // Appl. Math. arXiv:1909.08273v1, 2019.
  14. Даутов Р. З., Тимербаев М. Р. Численные методы. Приближение функций: учебное пособие. Казань: Казан. ун-т, 2021.
  15. Kopteva N. V., Stynes M. Approximation of derivatives in a convection-diffusion two-point boundary value problem // Appl. Numer. Math. 2001. V. 39. P. 47–60.
  16. Shishkin G. I. Approximations of solutions and derivatives for a singularly perturbed elliptic convectiondiffusion equations // Math. Proc. Royal Irish Acad. 2003. V. 103A. N 4. P. 169–201.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences