IDENTITIES FOR MEASURES OF DEVIATIONS FROM SOLUTIONS OF PARABOLO-HYPERBOLIC EQUATIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The article presents integral identities that hold for the difference between the exact solution of the initial-boundary value problem for a parabolo-hyperbolic equation and any function from the corresponding energy class. These identities allow for the derivation of two-sided a posteriori estimates for approximate solutions to the corresponding Cauchy problem. The left side of the estimate provides a natural measure of deviation from the solution, while the right side depends only on the problem data and the approximate solution itself, making it computable. The obtained estimates are utilized to compare solutions of Cauchy problems for both the parabolic equation and the parabolo-hyperbolic equation with a small parameter in the second time derivative. Additionally, the estimates enable a quantitative assessment of the effects arising from inaccuracies in initial data and coefficients of the equation.

About the authors

S. I Repin

St. Petersburg Branch of the V.A. Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences; St. Petersburg Polytechnic University

Email: repin@pdmi.ras.ru
St. Petersburg, Russia

References

  1. Ладыженская О.А. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики//Матем. сб. 1958. T. 87. № 2. P 123—158.
  2. Бубнов Б. А. Смешанная задача для некоторых параболо-гиперболических уравнений // Дифференц. ур-ния 1976. Т. 12. № 3. P 494-501.
  3. Ларькин Н. А. Краевые задачи в целом для одного класса гиперболических уравнений // Сиб. Матем. ж. 1977. Т. XVIII. № 6. P. 1414-1419.
  4. Четверушкин Б. Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Матем. моделирование. 2012. T. 24. № 11. P. 33-52.
  5. Давыдов А. А., Б. Н. Четверушкин Б. Н., Шильников Е. В. Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. N. 50. № 12. P. 2275-2284.
  6. Ainthworth M.,Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis, Wiley, New York, 2000.
  7. Babu s ka I., Strouboulis T. The finite element method and its reliability. Claderon Press, Oxford, 2001.
  8. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations, volume 4 of Radon Series on Computational and Applied Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.
  9. Verfurth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques Wiley, Teubner, New-York, 1996.
  10. Repin S. Estimates of deviations from exact solutions initial-boundary value problem for the heat equation // Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 2002. V. 13. № 2. P. 121-133.
  11. Repin S., Sauter S. Accuracy of Mathematical Models. Dimension Reduction, Homogenization, and Simplification, volume 33 of EMS Tracts Math. European Mathematical Society (EMS), Berlin, 2020.
  12. Репин С.И. Тождество для отклонений от точного решения задачи Λ∗AΛu + l = 0 и его следствия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021 T. 61. № 12 P. 1986-2009.
  13. Репин С. И. Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. T. 63. № 6. P. 896-919.
  14. Репин С. И. Контроль точности приближенных решений одного класса сингулярно возмущенных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. T. 62. № 11. P. 1822-1839.
  15. Repin S. Error identities for parabolic initial boundary value problems // Zap. Nauchn. Sem. POMI. 2021. V. 508. P. 147-172.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences