Target-point interpolation of a program control in the approach problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For a no Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch, Russian Academy of Sciences, 620108, Yekaterinburg, Russianlinear controlled system, a fixed-time approach problem is considered in which the target point location becomes known only at the start of motion. According to the proposed solution method, node resolving program controls corresponding to a finite collection of target points from the set of their admissible locations are computed in advance and a refined control for the target point given at the start of motion is determined via linear interpolation of the node controls. The procedure for designing such a resolving control is formulated in the form of two algorithms, one of which is run before the start of the motion, and the other is executed in real time while the system is moving. The error in the transfer of the system’s state to the target point by applying these algorithms is estimated. As an example, we consider the approach problem for a modified Dubins car model and a target point about which only a compact set of its admissible locations is known before the start of motion.

Full Text

Restricted Access

About the authors

A. V. Alekseev

Experimental Machine-Design Bureau “Novator”

Author for correspondence.
Email: sztern987@gmail.com
Russian Federation, Kosmonavtov Ave. 18, Yekaterinburg, 620091

A. A. Ershov

Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch, Russian Academy of Sciences; Ural Federal University

Email: ale10919@yandex.ru
Russian Federation, ul. Sofia Kovalevskaya, 16, Yekaterinburg, 620108; ul. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002

References

  1. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. [E.B. Lee , L. Markus Foundations of Optimal Control Theory. New York: Wiley, 1967.]
  2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.
  3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
  4. Veliov V.M. Parametric and functional uncertainties in dynamic systems local and global relationship. In book: Computer Arithmetic and Enclosure Methods. Amsterdam: North–Holland, 1992.
  5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
  6. Ершов А.А., Ушаков В.Н. О сближении управляемой системы, содержащей неопределенный параметр // Матем. сб. 2017. Т. 208. № 9. С. 56. [ A.A. Ershov , V.N. Ushakov An approach problem for a control system with an unknown parameter // Sb. Math. 2017. V. 208, 9. P. 1312–1352.]
  7. Ushakov V.N., Ershov A.A., Ushakov A.V. An approach problem with an unknown parameter and inaccurately measured motion of the system // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. № 32. С. 234.
  8. Никольский М.С. Об одной задаче управления с неполностью известным начальным условием // Прикл. матем. и информ. 2015. Т. 51, С. 16–23. [M.S. Nikol’skii, “A Control Problem with a Partially Known Initial Condition”, Comput. Math. Model. 2017. V. 28. P. 12–17.]
  9. Лемак С.С. К вопросу о формировании позиционных стратегий дифференциальной игры в методе экстремального прицеливания Н.Н. Красовского // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2015. Т. 6. С. 61. [S.S. Lemak, “Formation of positional strategies for a differential game in Krasovskii’s method of extremal aiming”, Moscow Univ. Mech. Bull. 2015. V. 70. No. 6. P. 157–160.]
  10. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Паршиков Г.В. Метод построения разрешающего управления задачи о сближении, основанный на притягивании к множеству разрешимости // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19. № 2. С. 275. [V.N. Ushakov, A.R. Matviychuk, G.V. Parshikov, “A method for constructing a resolving control in an approach problem based on attraction to the solvability set”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), V. 284, suppl. 1. 2014. P. 135–144.]
  11. Ершов А.А. Интерполяция программного управления по параметру в задаче о сближении // Пробл. матем. анализа. 2022. Т. 113. С. 17. [A.A. Ershov, “Linear parameter interpolation of a program control in the approach problem”, J. Math. Sci. 2022. V. 260. No 6. P. 725–737.]
  12. Ершов А.А. Билинейная интерполяция программного управления в задаче о сближении // Уфимск. матем. журн. 2023. Т. 15. № 3. С. 42.
  13. Nader M., Ali J. Approximation methods and spatial interpolation in distributed control systems // ACC’09: Proceed. of the 2009 Conf. on American Control Conf. 2009. P. 860. https://folk.ntnu.no/skoge/prost/proceedings/acc09/data/papers/1097.pdf
  14. https://patents.google.com/patent/US5197014A/en
  15. Kowalski K., Steeb W.-H. Nonlinear dynamical systems and Carleman linearization. Singapore: World Scientific, 1991. https://doi.org/10.1142/1347
  16. Antoulas A.C., Beattie C.A., Gugercin S. Interpolatory methods for model reduction. Philadelphia: PA, 2020. https://doi.org/10.1137/1.9781611976083
  17. Condon M., Ivanov R. Krylov subspaces from bilinear representations of nonlinear systems // Compel-Int. J. Comp. Math. Electr. Electron. Eng. 2007. V. 26. № 2. P. 399–406. https://doi.org/10.1108/03321640710727755
  18. Benner P., Gugercin S., Werner S.W.R. Structure-preserving interpolation of bilinear control systems // Adv. Comput. Math. 2021. V. 47. № 43. https://doi.org/10.1007/s10444-021-09863-w
  19. Брессан А., Пикколи Б. Введение в математическую теорию управления. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2015. [A. Bressan, B. Piccoli Introduction to the mathematical theory of control. New York: American Instit of Math. Sci., 2007.]
  20. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука. 1968.
  21. Ушаков В.Н., Ершов А.А. K решению задач управления с фиксированным моментом окончания // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2016. Т. 26. № 4. С. 543. [V.N. Ushakov, A.A. Ershov, “On the solution of control problems with fixed terminal time” [in Russian], Vestn. Udmurt. Univ. Math. Mekh. Komp'yut. Nauki. 2016. V. 26. № 4. P. 543–564.]
  22. Новикова А.О. Построение множеств достижимости двумерных нелинейных управляемых систем пиксельным методом // Тр. “Прикладная математика и информатика”. 2015. Т. 50. С. 62.
  23. Авдюшев В.А. Численное моделирование орбит небесных тел. Томск: Изд-кий Дом Томского гос. ун-та, 2015.
  24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. [B.P. Demidovich, I.A. Maron, Fundamentals of computational mathematics. Nauka, Moscow (1966)]
  25. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука. 1981.
  26. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
  27. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная интерполяция компонент диффузионных марковских процессов (прямые уравнения, эффективные формулы) // Теория вероятн. и ее примен. 1968. Т. 13. Вып. 4. С. 602. [R. Sh. Liptser and A. N. Shiryaev, Non-Linear Interpolation of Components of Markov Diffusion Processes (Direct Equations, Effective Formulas) // Theory of Probability and its Appl. 1968. V. 13. Iss. 4. P. 564–583. https://doi.org/10.1137/1113074]
  28. Tsuda T. Nonlinear interpolation of functions of very many variables // Numer. Math. 1975. V. 24. P. 395. https://doi.org/10.1007/BF01437408
  29. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Построение решений задач управления линейными системами дробного порядка на основе аппроксимационных моделей // Тр. ИММ УрО РАН. 2020. Т. 26. № 1. С. 39. [M.I. Gomoyunov, N.Y. Lukoyanov, Construction of Solutions to Control Problems for Fractional-Order Linear Systems Based on Approximation Models. Proc. Steklov Inst. Math. 2021. V. 313 (Suppl 1). S73–S82. https://doi.org/10.1134/S0081543821030093]
  30. Плеханова М.В. Задачи стартового управления для эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-матем. журн. 2016. Т. 1. № 3. C. 15. [M. V. Plekhanova, “Start control problems for fractional order evolution equations”, Chelyab. Fiz.-Mat. Zh. 2016. V. 1. P. 15–36. https://www.mathnet.ru/eng/chfmj27]

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Sections of sets ,  and  by plane .

Download (106KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences