NUMERICAL AND ANALYTICAL METHOD FOR NONLINEAR KOLMOGOROV–PETROVSKY–PISKUNOV TYPE EQUATIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The question of the effective solution of the basic initial boundary value problems for spatially onedimensional nonlinear equations of the parabolic type describing reaction-diffusion processes is considered. Such equations include the Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov and Burgers equations. For these problems, a numerical analytical method based on implicit discretization of the differential operator in combination with explicit Adams–Bashforth extrapolation for the nonlinear term of the equation is proposed. At the same time, a new efficient algorithm based on analytical representations using an explicit form of a fundamental solution system has been developed to solve a sequence of emerging linear problems. The effectiveness of the developed method and its advantages over some traditional algorithms have been demonstrated for a number of complex model examples.

About the authors

S. I. Bezrodnykh

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Email: bezrodnykh@mail.ru
Moscow, Russia

S. V. Pikulsh

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Email: spikulin@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов И.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Сек. А. 1937. Т. 1.№6. С. 1–25.
  2. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Ann. Eug. 1937.№7. P. 355–369.
  3. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.
  4. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence / Ed. by Richard Von Mises, Theodore Von Karman. Elsevier, 1948. V. 1 of Advances in Applied Mechanics. P. 171–199.
  5. Hopf E. The partial differential equation
  6. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
  7. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
  8. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. М.: Бином. Лаб. знаний, 2015.
  9. Безродных С.И., Пикулин С.В. Численно–аналитический метод для уравнения Бюргерса с периодическим краевым условием // Соврем. мат. Фундам. направл. 2023. Т. 69.№2. С. 208–223.
  10. Безродных С.И., Власов В.И. Аналитико–численный метод расчета взаимодействия физических полей в полупроводниковом диоде // Матем. моделирование. 2015. Т. 27.№7. С. 15–24.
  11. Безродных С.И., Власов В.И. Краевая задача для моделирования физических полей в полупроводниковом диоде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44.№12. С. 2220–2251.
  12. Wang X.Y. Exact and explicit solitary wave solutions for the generalised Fisher equation // Phys. Lett. A. 1988. V. 131. №4, 5. P. 277–279.
  13. Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера // Теор. и матем. физ. 1993. Т. 94. № 2. С. 296–306.
  14. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9.№4. С. 841–859.
  15. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. 1969. Т. 6.№2. С. 237–248.
  16. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного параболического уравнения реакциидиффузии с движущимся сосредоточенным источником // Матем. моделирование. 2003. Т. 15. № 2. С. 43–61.
  17. Калиткин Н.Н., Альшин А.Б., Альшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: Физматлит, 2005.
  18. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Численное моделирование задач с пограничным слоем // Матем. моделирование. 2015. Т. 27.№11. С. 47–55.
  19. Тефера Д.М., Тирунех А.А., Дерезе Г.А. Метод операторной подгонки с квадратурной формулой Гаусса для параболической сингулярно возмущенной задачи конвекции—диффузии // Сиб. журн. вычисл. матем. 2022. Т. 25.№3. С. 315–328.
  20. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Журн. физ. химии. 1938. Т. 12.№1. С. 100–105.
  21. Худяев С.И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.: Физматлит, 2003.
  22. Canosa J. Diffusion in nonlinear multiplicative media // J. Math. Phys. 1969. V. 10.№10. P. 1862–1868.
  23. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. B. 1952. V. 237. P. 37–72.
  24. Murray J.D. Mathematical Biology: I. An Introduction. Interdisciplinary Applied Mathematics 17. 3 ed. New York: Springer-Verlag, 2004.
  25. Тасевич А.Л., Бочаров Г.А., Вольперт В.А. Уравнения реакции–диффузии в иммунологии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58.№12. С. 2048–2059.
  26. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117.№4. P. 500–544.
  27. FitzHugh R. Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane // Bull. Math. Biophys. 1955. V. 17.№4. P. 257–278.
  28. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. V. 50. P. 2061–2070.
  29. Tuckwell H.C. Introduction to theoretical neurobiology: nonlinear and stochastic theories. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 1988. V. 2.
  30. Noble D. A modification of the Hodgkin—Huxley equations applicable to Purkinje fibre action and pace–maker potentials // J. Physiology. 1962. V. 160. P. 317–352.
  31. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse // Towards a Theoretical Biology. 1972. V. 4. P. 8–67.
  32. Aliev R., Panfilov A. A simple two–variable model of cardiac excitation // Chaos, Solitons & Fractals. 1996. V. 7.№3. P. 293–301.
  33. Biktashev V.N. A simplified model of propagation and dissipation of excitation fronts // Inter. J. Bifurcation and Chaos in Appl. Sci. and Engineer. 2003. V. 12.№13. P. 3605–3619.
  34. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.
  35. Aronson D.G., Weinberger H.F. Nonlinear diffusion in population genetics combustion and nerve pulse propagation. New York: Springer-Verlag, 1988.
  36. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987.
  37. Аллали К., Жунди Ю., Таик А., Вольперт В. Влияние естественной конвекции на тепловой взрыв в пористой среде // Физика горения и взрыва. 2017. Т. 53.№2. С. 15–21.
  38. Taylor J.E., Cahn J.W., Handwerker C.A. Overview No. 98 I—Geometric models of crystal growth // Acta Metallurgica et Materialia. 1992. V. 40.№7. P. 1443–1474.
  39. Volpert A., Volpert V., Volpert V. Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems. Providence, Rhode Island: AMS, 2000. V. 140 of Translations of mathematical monographs.
  40. Ablowitz M., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher’s equation for a special wave speed // Bulletin of Mathematical Biology. 1979. V. 41.№6. P. 835–840.
  41. Tang S., Weber R. O. Numerical study of Fisher’s equation by a Petrov–Galerkin finite element method // J. Australian Math. Soc. Ser. B. Appl. Math. 1991. V. 33.№1. P. 27–38.
  42. Ascher U.M., Ruuth S.J.,Wetton B.T.R. Implicit–explicit methods for time-dependent partial differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1995. V. 32.№3. P. 797–823.
  43. Ruuth S.J. Implicit–explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation // J. Mathem. Biology. 1995. V. 34.№2. P. 148–176.
  44. Песин Я.Б., Юрченко А.А. Некоторые физические модели, описываемые уравнением реакции–диффузии, и цепочки связанных отображений // Успехи матем. наук. 2004. Т. 59.№3(357). С. 81–114.
  45. Olmos D., Shizgal B.D. A pseudospectral method of solution of Fisher’s equation // J. Comput. Appl. Math. 2006. V. 193.№1. P. 219–242.
  46. Bastani M., Salkuyeh D.K. A highly accurate method to solve Fisher’s equation // Pramana – J. Phys. 2012. V. 78. P. 335–346.
  47. Kudryashov N.A., Zakharchenko A.S. A note on solutions of the generalized Fisher equation // Appl. Math. Lett. 2014. V. 32. P. 53–56.
  48. Gasull A., Giacomini H. Explicit travelling waves and invariant algebraic curves // Nonlinearity. 2015. V. 28. № 6. P. 1597.
  49. Hasnain S., Saqib M. Numerical study of one dimensional fishers kpp equation with finite difference schemes // Am. J. Comput. Math. 2017. V. 7. P. 70–83.
  50. Пикулин С.В.Орешениях типа бегущей волны уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58.№2. С. 244–252.
  51. Khater M.M.A., Attia R.A.M., Lu D. Computational and numerical simulations for the nonlinear fractional Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov (FKPP) equation // Physica Scripta. 2020. V. 95.№5. P. 055213.
  52. Khater M.M.A., Attia R.A.M., Abdel-Aty A.-H. et al. Abundant analytical and numerical solutions of the fractional microbiological densities model in bacteria cell as a result of diffusion mechanisms // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 136. P. 109824.
  53. Lopez J.L. On nonstandard chemotactic dynamics with logistic growth induced by a modified complex Ginzburg — Landau equation // Studies in Appl. Math. 2021. Access mode: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/sapm.12440.
  54. Chemeda H. M., Negassa A. D., Merga F. E. Compact finite difference scheme combined with Richardson extrapolation for Fisher’s equation // Math. Problems in Engineer. 2022. Access mode: https://doi.org/10.1155/2022/7887076.
  55. Zhang W, X. Hu, Ling X., Li W. Approximate analytical solution of the generalized Kolmogorov – Petrovsky — Piskunov equation with cubic nonlinearity // Acta Math. Applicatae Sinica, English Series. 2023. V. 2.
  56. Drabek P., Zahradnikova M. Traveling waves for generalized Fisher — Kolmogorov equation with discontinuous density dependent diffusion // Math. Meth. Appl. Sci. 2023. V. 46.№11. P. 12064–12086.
  57. Wongsaijai B., Aydemir T., Ak T., Dhawan S. Analytical and numerical techniques for initial-boundary value problems of Kolmogorov – Petrovsky — Piskunov equation // Numer. Meth. Partial Differential Equations. 2024. V. 40.№1. P. e22693.
  58. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
  59. Canuto C., Hussaini M., Quarteroni A., Zang T. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Berlin Heidelberg: SpringerVerlag, 1988.
  60. Солуян С.И. Хохлов Р.В. Распространение акустических волн конечной амплитуды в диссипативной среде // Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1961.№3. С. 52–61.
  61. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
  62. Хохлов Р.В. К теории ударных радиоволн в нелинейных линиях // Радиотехника и электроника. 1961. V. 6. №6. P. 917–925.
  63. Cole J.D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quarterly of Appl. Math. 1951. V. 9. №3. P. 225–236.
  64. Вабищевич П. Н., Васильева М. В. Явно–неявные схемы для задач конвекции–диффузии–реакции // Сиб. журн. вычисл. матем. 2012. Т. 15.№4. С. 359–369.
  65. Кобельков Г.М. Численные методы. Ч.2. Мехмат МГУ, 2024. Доступно по адресу: https://vk.com/wall-215637188_162.
  66. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heatconduction type // Math. Proceed. Cambridge Philosophic. Soc. 1947.№49. P. 50–67.
  67. Лыкосов В.Н., Глазунов А.В., Кулямин Д.В. и др. Суперкомпьютерное моделирование в физике климатической системы. М.: МГУ, 2012.
  68. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. М.: Энергия, 1980.
  69. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
  70. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences