Решение двумерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности при краевом режиме, заданном на подвижном многообразии

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Статья посвящена исследованию вырождающегося параболического уравнения теплопроводности с нелинейностями общего вида при наличии источника (стока) в случае двух пространственных переменных. Рассмотрена задача об инициировании тепловой волны, распространяющейся по холодному (нулевому) фону с конечной скоростью, краевым режимом, заданным на подвижном многообразии — замкнутой линии. Для нее доказана новая теорема существования и единственности и предложен численный алгоритм построения решения, основанный на методе граничных элементов, методе коллокаций и разностной аппроксимации по времени, при этом использована специальная замена переменных типа преобразования годографа. Найдены новые точные решения рассматриваемого уравнения в случае нелинейностей степенного вида. Численный алгоритм реализован в виде программы, проведен комплексный вычислительный эксперимент. Сравнение построенных численных решений с точными (как найденными в работе, так и ранее известными) показало хорошее соответствие, установлена численная сходимость относительно шага по времени и числа точек коллокации. Библ. 28. Фиг. 3. Табл. 4.

About the authors

А. Л. Казаков

ИДСТУ СО РАН

Author for correspondence.
Email: kazakov@icc.ru
Russian Federation, 664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 134

О. А. Нефедова

ИМАШ УрО РАН

Email: nefedova@imach.uran.ru
Russian Federation, 620049 Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34

Л. Ф. Спевак

ИМАШ УрО РАН

Email: lfs@imach.uran.ru
Russian Federation, 620049 Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34

References

  1. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.
  2. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.
  4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
  5. Лыков А. В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1972.
  6. Ханхасаев В. Н., Дармахеев Э. В. О некоторых применениях гиперболического уравнения теплопроводности и методах его решения // Матем. заметки СВФУ. 2018. Т. 25. № 1. С. 98–111.
  7. Зельдович Я. Б., Компанеец A. C. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб., посвященный 70-летию акад. А. Ф. Иоффе. М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 61–71.
  8. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // Прикл. матем. и механ. 1952. Т. 16. № 1. С. 67–78.
  9. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
  10. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001.
  11. Степанова Е. В., Шишков А. Е. Начальная эволюция носителей решений квазилинейных параболических уравнений с вырождающимся абсорбционным потенциалом // Матем. сборник. 2013. № 3. С. 79–106.
  12. Antontsev S. N., Shmarev S. I. Evolution PDEs with nonstandard growth conditions: Existence, uniqueness, localization, blow-up. Paris: Atlantis Press, 2015.
  13. Кудряшов Н. А., Синельщиков Д. И. Аналитические решения нелинейного уравнения конвекции–диффузии с нелинейными источниками // Моделирование и анализ информ. систем. 2016. Т. 23. № 3. С. 309–316.
  14. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford: Clarendon Press, 2007.
  15. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации // Изв. ИГУ. Сер. математика. 2012. Т. 5. № 2. С. 2–17.
  16. Казаков А. Л., Кузнецов П. А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сиб. ж. индустриальной матем. 2018. Т. 21. № 2 (74). С. 56–65.
  17. Казаков А. Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. электронные матем. изв. 2019. Т. 16. С. 1057–1068.
  18. Partridge P. W., Brebbia C. A., Wrobel L. C. The dual reciprocity boundary element method. Southampton: Comp. Mech. Pub., 1992.
  19. Golberg M. A., Chen C. S., Bowman H. Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM // Eng. Anal. Bound. Elem. 1999. V. 23. P. 285–296.
  20. AL-Bayati S.A., Wrobel L. C. The dual reciprocity boundary element formulation for convection–diffusion–reaction problems with variable velocity field using different radial basis functions // Int. J. Mech. Sci. 2018. V. 145. P. 367–377.
  21. Chen W., Fu Z. — J., Chen C. S. Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Methods. Berlin/Heidelberg: Springer, 2013.
  22. Казаков А. Л., Нефедова О. А., Спевак Л. Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 6. С. 1047–1062.
  23. Kazakov A. L., Spevak L. F., Nefedova O. A., Lempert A. A. On the analytical and numerical study of a two-dimensional nonlinear heat equation with a source term // Symmetry. 2020. V. 12. No 6. P. 921.
  24. Спевак Л. Ф., Нефедова О. А. Численное решение двумерного нелинейного уравнения теплопроводности с использованием радиальных базисных функций // Комп. иссл. и модел. 2022. Т. 14. № 1. С. 9–22.
  25. Brebbia C. A., Telles J. C.F., Wrobel L. C. Boundary element techniques. Theory and applications in engineering. Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2012.
  26. Федотов В. П., Спевак Л. Ф. Аналитическое интегрирование функций влияния для решения задач упругости и теории потенциала методом граничных элементов // Матем. моделирование. 2007. Т. 19. № 2. С. 87–104.
  27. Fedotov V. P., Spevak L. F. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method // Eng. Anal. Bound. Elem. 2008. V. 32. No 10. P. 883–888.
  28. Franke R. Scattered data interpolation: Tests of some methods // Math. Comput. 1982. V. 38. No 157. P. 181–200.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences