EQUATIONS AND SYSTEMS OF THE M.M. LAVRENTIEV TYPE IN THE INVERSE PROBLEM OF MEMORY RECONSTRUCTION OF A VISCOELASTIC MEDIUM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A nonlinear coefficient inverse problem is considered related to the partial reconstruction of the memory matrix of a viscoelastic medium based on the results of probing the medium by a family of wave fields excited by point sources. A spatially non-overdetermined formulation is investigated in which the manifolds of point sources and detectors do not coincide and have a total dimension equal to three. The requirements for these manifolds are established to ensure the unique solvability of the studied inverse problem. The result is achieved by reducing this problem to a chain of connected systems of M.M. Lavrentiev type linear integral equations.

About the authors

M. Yu Kokurin

Mari State University

Email: kokurinm@yandex.ru
Yoshkar-Ola

References

  1. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520–521.
  2. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160. № 1. С. 32–35.
  3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
  4. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994.
  5. Бакушинский А.Б, Козлов А.И., Кокурин М.Ю. Об одной обратной задаче для трехмерного волнового уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 47. № 3. С. 1201–1209.
  6. Кокурин М.Ю., Паймеров С.К. Об обратной коэффициентной задаче для волнового уравнения в ограниченной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 1. С. 117–128.
  7. Klibanov M.V., Li J., Zhang W. Linear Lavrent’ev integral equation for the numerical solution of a nonlinear coefficient inverse problem // SIAM J. Appl. Math. 2021. V. 81. № 5. P. 1954–1978.
  8. Козлов А.И., Кокурин М.Ю. Об интегральных уравнениях типа М.М.Лаврентьева в коэффициентных обратных задачах для волновых уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 9. С. 1492–1507.
  9. Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Условия единственности и численная аппроксимация решения интегрального уравнения М.М. Лаврентьева // Сиб. журн. вычисл. матем. 2022. Т. 25. № 4. С. 435–451.
  10. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. Экономичный численный метод решения коэффициентной обратной задачи для волнового уравнения в трехмерном пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 4. С. 561–574.
  11. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. Численное решение трехмерной коэффициентной обратной задачи для волнового уравнения с интегральными данными в цилиндрической области // Сиб. журн. вычисл. матем. 2019. Т. 22. № 4. P. 381–397.
  12. Кокурин М.Ю. О полноте произведений гармонических функций и единственности решения обратной задачи акустического зондирования // Матем. заметки. 2018. Т. 104. № 5. С. 708–716.
  13. Кокурин М.Ю. Полнота асимметричных произведений решений эллиптического уравнения второго порядка и единственность решения обратной задачи для волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 255–264.
  14. Кокурин М.Ю. Полнота асимметричных произведений гармонических функций и единственность решения уравнения М.М. Лаврентьева в обратных задачах волнового зондирования // Изв. РАН. Сер. Матем. 2022. Т. 86. № 6. С. 101–122.
  15. Локшин А.А. Волновые уравнения с сингулярно запаздывающим временем // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240. № 1. С. 43–46.
  16. Hanyga A., Seredynska M. Some effects of the memory kernel singularity on wave propagation and inversion in poroelastic media – I. Forward problems // Geophys. J. Inter. 1999. V. 137. P. 319–335.
  17. Ribodetti A., Hanyga A. Some effects of the memory kernel singularity on wave propagation and inversion in poroelastic media – II. Inversion // Geophys. J. Inter. 2004. V. 158. P. 426–442.
  18. Hanyga A. Wave propagation in media with singular memory // Math. and Comput. Model. 2001. V. 34. P. 1399–1421.
  19. Бухгейм А.Л., Дятлов Г.В., Кардаков В.Б., Танцерев Е.В. Единственность в одной обратной задаче для системы уравнений упругости // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45. № 4. С. 747–757.
  20. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
  21. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений уппугости. Новосибирск: Наука, 1990.
  22. Романов В.Г. Об определении коэффициентов в уравнениях вязкоупругости // Сиб. матем. журн. 2014. Т. 55. № 3. С. 617–626.
  23. Durdiev D.K., Totieva Z.D. Kernel determination problems in hyperbolic integro–differential equations. Singapore: Springer, 2023.
  24. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
  25. Ciambella J., Paolone A., Vidoli S. Memory decay rates of viscoelastic solids: not too slow, but not too fast either // Rheologica Acta. 2011. V. 50. P. 661–674.
  26. Metzler R., Nonnenmacher T.F. Fractional relaxation processes and fractional rheological models for the description of a class of viscoelastic materials // Inter. J. Plasticity. 2003. V. 19. P. 941–959.
  27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  28. Бицадзе А.В. О полигармонических функциях // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 3. С. 521–525.
  29. Hayman W.K., Korenblum B. Representation and uniqueness theorems for polyharmonic functions // J. d’Analyse Mathematique. 1993. V. 60. P. 113–133.
  30. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.
  31. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
  32. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
  33. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Лань, 2003.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences