ASYMPTOTIC ANALYSIS OF EIGENVALUES FOR CONCENTRATED MASSES APPROACHING ONE ANOTHER

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

. A spectral Dirichlet problem in a three-dimensional domain with several identical concentrated heavy masses (large density perturbations on small sets) is studied. Asymptotics of its eigenvalues and eigenfunctions are constructed depending on two parameters: a small one characterizing the size and the density of the inclusions and a timelike parameter describing their approach to the origin (or to a point on the boundary of the domain). The basic novelty is the construction of two-scale asymptotic expansions and the derivation of uniform estimates for asymptotic remainders

About the authors

S. A Nazarov

Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Saint Petersburg

References

  1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  2. Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems with concentrated masses // Trends in applications of pure mathematics to mechanics (Palaiseau, 1983), Lecture Notes in Phys., 195, Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  3. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах // Изв. Николаевской морской академии. 1913. Вып. 2. С. 325—348.
  4. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гос. тех. изд-во, 1950.
  5. Олейник O.A. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами // Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. C. 101—128.
  6. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass // Quart. Appl. Math. 1989. V. 47. № 1. P. 93—103.
  7. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана // Изв. ВУЗов. Матем. 1989. № 11. С. 60–66.
  8. Oleinik O.A, Sanchez-Hubert J., Yosifian G.A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sci. Math. 1991. V. 115. № 1. P. 1—27.
  9. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. № 8. P. 841—865.
  10. Canzos J., Perez E., Vilasanchez M. Asymptotics for the eigenelements of the Neumann spectral problem with concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2007. V. 56. № 4. P. 1939—1987.
  11. Sanchez Hubert J, Sanchez Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods. Berlin: Springer-Verlag, 1989.
  12. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990.
  13. Lobo M., Perez E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary // Math. Model. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249—273.
  14. Campillo M., Dascalu C., Ionescu I. Inestability of a periodic systems of faults // Geophys. J. Int. 2004. V. 159. P. 212—222.
  15. Chechkin G.A., Cioranescu D., Damlamian A., Piatnitski A.L. On boundary value problem with singular inhomogeneity concentrated on the boundary // J. de Mathematiques Pures et Appliquees. 2012. V. 98. № 2. P. 115–138.
  16. Мельник Т.А., Чечкин Г.А. Собственные колебания густых каскадных соединений со “сверхтяжелыми” концентрированными массами // Изв. РАН. 2015. Т. 79. № 3. C. 41–86.
  17. Nazarov S.A., Perez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matematica Complutense. 2018. V. 31. № 1. P. 1—62.
  18. Назаров С.А. Асимптотика собственных чисел задачи Неймана при концентрации масс на тонком тороидальном множестве // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 3. № 15. С. 61–71.
  19. Назаров С.А. Осреднение краевых задач в области, содержащей тонкую полость с периодически изменяющимся сечением // Тр. Московского матем. общества. 1990. Т. 53. С. 98–129.
  20. Олейник О.А., Шапошникова Т.А. Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 6. С. 830-–842.
  21. Лобо М., Олейник О.А., Перес М.Е., Шапошникова Т.А. О граничных задачах в областях, перфорированных вдоль многообразий // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. № 4. С. 205—206.
  22. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777–799.
  23. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994.
  24. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  25. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. общества. 1963. Т. 16. С. 219–292.
  26. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  27. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie-Verlag. 1991. (Английский перевод : Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhauser Verlag, 2000).
  28. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
  29. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  30. Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка около границы области // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. № 6. С. 1322–1339.
  31. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений эллиптических краевых задач при нерегулярном возмущении области // Проблемы матем. анализа. Вып. 8. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. С. 72–153.
  32. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  33. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  34. Назаров С.А. “Дальнодействие” концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле // Изв. РАН. Сер. матем. 2023. Т. 87. № 1. С. 65–118.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences