A SATELLITE IN AN ELLIPTICAL ORBIT: ON THE NUMERICAL DETECTION OF PERIODIC MOTIONS AND THE STUDY OF THEIR STABILITY

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The equations of plane oscillations of a satellite in an elliptical orbit are considered. For the numerical detection of periodic solutions, a combination of the Poincar´e cross-section method and the previously proposed approach based on an analogue of the principle of contracting maps is used. A number of classes of periodic solutions have been numerically identified and the necessary conditions for their stability have been investigated. Special attention is paid to these movements, since in general they are difficult to study analytically.

About the authors

A. A Burov

Federal Research Center Computer Science and Control RAS

Email: jtm@narod.ru
Moscow, Russia

V. I Nikonov

Federal Research Center Computer Science and Control RAS

Email: nikon_v@list.ru
Moscow, Russia

References

  1. Белецкий В. В. О либрации спутника // Сборник "Искусственные спутники Земли". 1959. № 3. М.: АН СССР. С. 13-31.
  2. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.
  3. Златоустов В. А., Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А., Торжевский А. П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1964. Т. 2. № 5. С. 657-666.
  4. Торжевский А. П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1964. Т. 2. № 5. С. 667-678.
  5. Zlatoustov V. A., Okhotsimsky D. E., Sarychev V. A., Torzhesky A. P. Investigation of a Satellite Oscillations in the Plane of an Elliptic Orbit // The Eleventh International Congress of Applied Mechanics, Munich, Germany. 1964. P. 436-439.
  6. Burov A. A., Nikonov V. I. On the nonlinear Meissner equation // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2019. V. 110. P. 26-32.
  7. Burov A. A., Nikonov V. I. On the motion of the pendulum in an alternating, sawtooth force field // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2020. V. 30. Art No. 2050135.
  8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.
  9. Beletsky V. V. Regulare und Chaotische Bewegung Starrer Korper, Teubner Studienbucher Mechanik, B. G. Teubner, Stuttgart. 1995.
  10. Буров А. А. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1984. № 1. С. 71-73.
  11. Koh D., Flashner H. Global Analysis of Gravity Gradient Satellite’s Pitch Motion in an Elliptic Orbit // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2015. V. 10. № 6. Art No. 061020.
  12. Baker R. M. L. Librations on a Slightly Eccentric Orbit // ARS Journal. 1960. V. 30. № 1. P. 124-126.
  13. Schechter H. B. Dumbbell Librations in Elliptic Orbits // AIAA Journal. 1964. V. 2. № 6. P. 1000-1003.
  14. Vinh, Nguyen X. Sur les Solutions Periodiques du Mouvement Plan de Libration des Satellites et des Planetes // Celestial Mechanics. 1973. V. 8. №3. P. 371-403.
  15. Mawhin J. On a differential equation for the periodic motions of a satellite around its center of mass // Асимптотические методы в задачах математической физики. Киев: Издательство Института математики. 1988. С. 150-157.
  16. Bruno A. D., Varin V. P. The Limit Problems for the Equation of Oscillations ofa Satellite // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1997. V. 67. № 1. P. 1-40.
  17. Bruno A. D., Varin V. P. Singularities of Oscillations of a Satellite on Highly Eccentric Elliptic Orbits // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1997. V. 30. № 4. P. 2541-2546.
  18. Брюно А. Д., Петрович В. Ю. Вычисление периодических колебаний спутника // Математическое моделирование. 1997. Т. 9. №6. С. 82-94.
  19. Bruno A. D., Varin V. P. Generalized Periodic Solutions to the Equation of Oscillations ofa Satellite // ZAMM. 1999. V. 79. № Suppl. 2. P. 283-284.
  20. Varin V. P. Degeneracies of Periodic Solutions to the Beletsky Equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V. 5. №3. P. 313-328.
  21. Bruno A. D., Varin V. P. Classes of families of generalized periodic solutions to the Beletsky equation // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2004. V. 88. P. 325-341.
  22. Nu nez D., Torres P. J. Stable odd solutions of some periodic equations modeling satellite motion // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. Vol. 279. Issue 2. P. 700-709.
  23. Cabada A., Cid J. A. On a class of singular Sturm-Liouville periodic boundary value problems //Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2011. Vol. 12. Issue 4. P 2378-2384.
  24. Брюно А. Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космические исследования. 2002. Т. 40. № 3. С. 295-316.
  25. Косенко И. И. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на кеплеровой орбите с учетом сил светового давления // Космические исследования. 2002. Т. 40. № 6. С. 626-632.
  26. Косенко И. И. Применение теории степени Лере-Шаудера для аппроксимации колебаний спутника на эллиптической орбите // Докл. АН. 2005. Т. 404. № 5. С. 625-627.
  27. Косенко И. И. Топологическая степень и аппроксимация решений нерегулярных задач механики. Колебания спутника на эллиптической орбите // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 16. С. 68-95.
  28. Черноусько Ф. Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. Вып. 3. С. 528-538.
  29. Zlatoustov V. A., Markeev A. P. Stability of Planar Oscillations ofa Satellite in an Elliptic Orbit // Celestial Mechanics. 1973. V. 7. № 1. P. 31-45.
  30. Сарычев В. А., Сазонов В. В., Златоустов В. А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1977. Т. 15. № 6. С. 809-834.
  31. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1979. Т. 17. № 2. С. 190-207.
  32. Сарычев В. А., Сазонов В. В., Златоустов В. А. Несимметричные периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1980. Т. 18. № 1. С. 3-10.
  33. Садов С. Ю. Нормальная форма уравнения колебаний спутника в сингулярном случае // Матем. заметки. 1995. Т. 58. Вып. 5. С. 785-789.
  34. Sadov S. Lissajous Solutions of the Satellite Oscillation Equation: Stability and Bifurcations via Higher Order Averaging // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 1999. V. 2. P. 96-101.
  35. Садов С. Ю. Об устойчивости резонансного вращения спутника относительно центра масс в плоскости орбиты // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 2. С. 170-181.
  36. Садов С. Ю. Усреднение уравнения движения спутника относительно центра масс в вырожденных случаях. I. Колебания в абсолютной системе координат // Космические исследования. 2008. Т. 46. 2. С. 174-182.
  37. Маркеев А. П. Об устойчивости колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Доклады академии наук. 2007. Т. 413. №3. C. 340-344.
  38. Маркеев А. П. К задаче о плоских периодических вращениях спутника на эллиптической орбите // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 102-115.
  39. Koch B.-P., Bruhn B. Chaotic and Periodic Motions of Satellites in Elliptic Orbits // Zeitschrift fur Naturforschung A. 1989. V. 44. P. 1155-1162.
  40. Maciejewski A. J. Non-Integrability of the Planar Oscillations of a Satellite // Acta Astronomica. 1995. V. 45. P. 327-344.
  41. Teofilatto P., Graziani F. On Librational Motion of Spacecraft // Chaos, Solitons & Fractals. 1996. V. 7. P. 1721-1744.
  42. Kirchgraber U., Manz U., Stoffer D. Rigorous Proof of Chaotic Behaviour in a Dumbbell Satellite Model // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2000. V. 251. № 2. P. 897-911.
  43. Tong X., Rimrott F. Numerical Studies on Chaotic Planar Motion of Satellite in an Elliptic Orbit // Chaos, Solitons & Fractals. 1991. V. 1. №2. P. 179-186.
  44. Gkolias I., Celletti A., Efthymiopoulos Ch., Pucacco G. The theory of secondary resonances in the spin-orbit problem // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2016. V. 459. P. 1327-1339.
  45. Мельников А. В. Ориентация фигур малых спутников планет при хаотическом вращении // Астрономический вестник. 2020. T. 54. № 5. С. 458—467.
  46. Eapen R. T., Majji M., Alfriend K. T. Attitude dynamics of a rigid body in Keplerian motion // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2021. V. 133. Art No. 2.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences