GENERALIZATIONS OF THE STAGE ORDER OF RUNGE–KUTTA METHODS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The application of Runge–Kutta methods for solving rigid systems of ordinary differential equations and differential algebraic equations is considered. When solving such problems, the effect of reducing the order is often manifested, when, with a given accuracy, the real order of the method turns out to be lower than the classical order, which inevitably leads to increased computational costs. To avoid reducing the order, the method must have a sufficiently high stage order. However, the methods that provide the most convenient and efficient implementation have a low stage order. Therefore, the task of constructing methods that, at a low stage order, have the properties of methods of a higher stage order is relevant. This article is devoted to the construction of methods of this type. Singly diagonal-implicit, explicit methods and those inverse to the explicit ones are considered. The results of solving test problems are presented.

About the authors

L. M. Skvortsov

3B Service LLC

Email: lm.skvo@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
  2. Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциальноалгебраических уравнений. М.: ДМК Пресс, 2022.
  3. Prothero A., Robinson A. On the stability and accuracy of one-step methods for solving stiff systems of ordinary differential equations // Math. Comput. 1974. V. 28. № 125. P. 145–162.
  4. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге–Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988.
  5. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциальноалгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
  6. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations. Chichester: John Wiley and Sons, 2008.
  7. Скворцов Л.М. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге–Кутты для жестких и дифференциальноалгебраических систем // Матем. моделирование. 2002. Т. 14. № 2. С. 3–17.
  8. Скворцов Л. М. Точность методов Рунге Кутты при решении жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 9. С. 1374–1384.
  9. Скворцов Л.М. Явные методы Рунге–Кутты для умеренно жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 11. 2017–2030.
  10. Скворцов Л.М. Диагонально неявные методы Рунге–Кутты для жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2209–2222.
  11. Скворцов Л.М. Модельные уравнения для исследования точности методов Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 5. С. 146–160.
  12. Скворцов Л.М. Явные стабилизированные методы Рунге–Кутты // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 7. С. 1236–1250.
  13. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы Рунге–Кутты для жестких и колебательных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 8. С. 1434–1448.
  14. Скворцов Л.М. О неявных методах Рунге–Кутты, полученных в результате обращения явных методов // Матем. моделирование. 2017. Т. 29. № 1. С. 3–19.
  15. Скворцов Л.М. Как избежать снижения точности и порядка методов Рунге–Кутты при решении жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 7. С. 1126–1141.
  16. Скворцов Л.М. Неявные методы Рунге–Кутты с явными внутренними стадиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 3.
  17. Rang J. An analysis of the Prothero–Robinson example for constructing new DIRK and ROW methods // J. Comput. Appl. Math. 2014. V. 262. P. 105–114.
  18. Rang J. An analysis of the Prothero–Robinson example for constructing new adaptive ESDIRK methods of order 3 and 4 // Appl. Numer. Math. 2015. V. 94. P. 75–87.
  19. Rang J. The Prothero and Robinson example: Convergence studies for Runge–Kutta and Rosenbrock–Wanner methods // Appl. Numer. Math. 2016. V. 108. P. 37–56.
  20. Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D., Zhou D. DIRK schemes with high weak stage order // Lecture Notes in Comput. Science and Engng. V. 134. Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations. Springer, 2020. P. 453–463.
  21. Biswas A., Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D. Design of DIRK schemes with high weak stage order // Commun. Appl. Math. Comput. Sci. 2023. V. 18. P. 1–28.
  22. Biswas A., Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D. Algebraic structure of the weak stage order conditions for Runge–Kutta methods. // SIAM J. Numer. Anal. 2024. V. 62. № 1. P. 48–72.
  23. Biswas A., Ketcheson D.I., Roberts S., Seibold B., Shirokoff D. Explicit Runge–Kutta methods that alleviate order reduction. https://arxiv.org/abs/2310.02817.
  24. Rosales R.R., Seibold B., Shirokoff D., Zhou D. Spatial manifestations of order reductions in Runge–Kutta methods for initial boundary value problems // Commun. Math. Sci. 2024. V. 22. № 3. P. 613–653.
  25. Hairer E., Lubich Ch., Roche M. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge–Kutta methods. Berlin: SpringerVerlag, 1989.
  26. Jay L. Convergence of Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 3 // Appl. Numer. Math. 1995. V. 17. № 2. P. 97–118.
  27. Jay L. Convergence of a class of Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2 // BIT. 1993. V. 33. № 1. P. 137–150.
  28. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.
  29. Скворцов Л.М. Диагонально-неявные методы Рунге–Кутты для дифференциально-алгебраических уравнений индексов 2 и 3 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 6. С. 1047–1059.
  30. Hosea M.E., Shampine L.F. Analysis and implementation of TR-BDF2 // Appl. Numer. Math. 1996. V. 20. № 1–2. P. 21–37.
  31. Cameron F., Palmroth M., Piche R. Quasi stage order conditions for SDIRK methods // Appl. Numer. Math. 2002. V. 42. № 1–3. P. 61–75.
  32. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып. 8. C. 237–291.
  33. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997.
  34. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П. Вычисления с использованием обратных схем Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 10. С. 79–96.
  35. Кочетков К.А., Ширков П.Д. L-затухающие ROW-методы третьего порядка точности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 6. С. 699–710.
  36. Cash J.R., Singhal A. Mono-implicit Runge–Kutta formulae for the numerical integration of stiff differential systems // IMA J. Numer. Anal. 1982. V. 2. P. 211–227.
  37. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Adaptive nested implicit Runge–Kutta formulas of Gauss type // Appl. Numer. Math. 2009. V. 59. № 3–4. P. 707–722.
  38. Куликов Г.Ю. Вложенные симметричные неявные гнездовые методы Рунге–Кутты типов Гаусса и Лобатто для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтоновых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 6. С. 986–1007.
  39. Alexander R. Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff O.D.E.’s // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V. 14. № 6. P. 1006–1021.
  40. Ralston A. Runge–Kutta methods with minimal error bounds // Math. Comput. 1962. V. 16. P. 431–437.
  41. Bogacki P., Shampine L.F. A 3(2) pair of Runge–Kutta formulas // Appl. Math. Lett. 1989. V. 2. № 4. P. 321–325.
  42. Булатов М.В., Соловарова Л.С. О потере L-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 3–11.
  43. Скворцов Л.М. Методы ESDIRK третьего и четвертого порядков для жестких и дифференциальноалгебраических задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 5. С. 790–808.
  44. Зубанов А.М., Кутрухин Н.Н., Ширков П.Д. О построении линейно неявных схем, LN-эквивалентных неявным методам Рунге–Кутты // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4.№ 3. С. 483–496.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences