Formulas for Computing Euler-Type Integrals and Their Application to the Problem of Constructing a Conformal Mapping of Polygons

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper deals with Euler-type integrals and the closely related Lauricella function , which is a hypergeometric function of many complex variables. For  new analytic continuation formulas are found that represent it in the form of Horn hypergeometric series exponentially converging in corresponding subdomains of, including near hyperplanes of the form, . The continuation formulas and identities for  found in this paper make up an effective apparatus for computing this function and Euler-type integrals expressed in terms of it in the entire complex space , including complicated cases when the variables form one or several groups of closely spaced neighbors. The results are used to compute parameters of the Schwarz–Christoffel integral in the case of crowding and to construct conformal mappings of polygons.

About the authors

S. I. Bezrodnykh

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: sbezrodnykh@mail.ru
119333, Moscow, Russia

References

  1. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  2. Exton H. Multiple hypergeometric functions and application. New York: John Willey & Sons, Inc, 1976.
  3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.
  4. Kraniotis G.V. Periapsis and gravitomagnetic precessions of stellar orbits in Kerr and Kerr–de Sitter black hole spacetimes // Class. Quant. Grav. 2007. V. 24. P. 1775–1808.
  5. Primoa A., Tancredic L. Maximal cuts and differential equations for Feynman integrals. An application to the three-loop massive banana graph // Nucl. Phys. B. 2017. V. 921. P. 316–356.
  6. Berge J., Massey R., Baghi Q., Touboul P. Exponential shapelets: basis functions for data analysis of isolated features // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2019. V. 486. № 1. P. 544–559.
  7. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Application of hypergeometric functions of two variables in wireless communication theory // Lobachevskii J. Math. 2019. V. 40. 7. P. 938–953.
  8. Akerblom N., Flohr M. Explicit formulas for the scalar modes in Seiberg–Witten theory with an application to the Argyres–Douglas point // J. High Energy Phys. 2005. V. 2. № 057. P. 24.
  9. Looijenga E. Uniformization by Lauricella functions: an overview of the theory of Deligne–Mostow. In “Arithmetic and geometry around hypergeometric functions.” Progress in mathematics. V. 260. Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag AG, 2005.
  10. Власов В.И., Скороходов С.Л. Аналитическое решение задачи о кавитационном обтекании клина. II // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 11. С. 1873–1893.
  11. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Generalized Euler integrals and -hypergeometric functions // Adv. Math. 1990. V. 84. P. 255–271.
  12. Matsumoto K. Relative twisted homology and cohomology groups associated with Lauricella’s , 2019. Ar-Xiv:1804.00366v2.
  13. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.–Л.: Гостехиздат, 1950.
  14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М.: Наука, 1953.
  15. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  16. Trefethen L.N. Numerical computation of the Schwarz – Christoffel transformation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1980. V. 1. P. 82–102.
  17. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. V. 1–3. New York: John Wiley & Sons, 1991.
  18. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a piu variabili // Rendiconti Circ. Math. Palermo. 1893. V. 7. P. 111–158.
  19. Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painlevé: a modern theory of special functions. Aspects of Mathematics. V. E16. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1991.
  20. Безродных С.И. Гипергеометрическая функция Лауричеллы , задача Римана–Гильберта и некоторые приложения // Успехи матем. наук. 2018. Т. 73. № 6 (444). С. 3–94.
  21. Безродных С.И. Формулы для вычисления функции Лауричеллы в ситуации кроудинга переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 62. № 12. С. 2054–2076.
  22. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах В.С. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47. Вып. 4 (286). С. 3–82.
  23. Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Horn hypergeometric series with an arbitrary number of variables // Integral Transform. Spec. Funct. 2020. V. 31. 10. P. 788–803.
  24. Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014.
  25. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn functions
  26. Ananthanarayan B., Beraay S., Friot S., Marichev O., Pathak T. On the evaluation of the Appell double hypergeometric function, 2021; arXiv:2111.05798v1
  27. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn function
  28. Kalmykov M., Bytev V., Kniehl B., Moch S.-O., Ward B., Yost S. Hypergeometric functions and Feynman diagrams. In: Blümlein J., Schneider C. (eds) Anti-Differentiation and the Calculation of Feynman Amplitudes. Texts & Monographs in Symbolic Computation (A Series of the Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler University, Linz, Austria). Springer, Cham, 2021.
  29. Zemach C. A conformal map formula for difficult cases // J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 14. P. 207–215.
  30. Krikeles B.C., Rubin R.L. On the crowding of parameters associated with Schwarz–Christoffel transformation // Appl. Math. Comut. 1988. V. 28. № 4. P. 297–308.
  31. Голузин Г., Канторович Л., Крылов В., Мелентьев П., Муратов М., Стенин Н. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей. Л.–М.: Наука, 1937.
  32. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматлит, 1962.
  33. Gaier D. Konstructive Methoden der konformen Abbildung. Berlin: Springer-Verlag, 1964.
  34. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 3. С. 277–312.
  35. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в областях сложной формы и ее приложение // Spectr. Evolut. Problem. 2006. Т. 16. С. 51–61.
  36. Богатырев А.Б. Конформное отображение прямоугольных семиугольников // Матем. сб. 2012. Т. 203. № 12. С. 35–56.
  37. Накипов Н.Н., Насыров С.Р. Параметрический метод нахождения акцессорных параметров в обобщенных интегралах Кристоффеля–Шварца // Уч. зап. Казанского университета. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158. № 2. С. 202–220.
  38. Безродных С.И. Функция Лауричеллы и конформное отображение многоугольников // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 4. С. 500–520.
  39. Banjai L. Revisiting the Crowding Phenomenon in Schwarz–Christoffel Mapping // SIAM J. Sci. Comput. 2008. V. 30. № 2. P. 618–636.
  40. Власов В.И., Скороходов С.Л. Конформное отображение -образной области в аналитическом виде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 1943–1980.
  41. Trefethen L.N., Driscoll T.A. Schwarz–Christoffel transformation. Campridge: Cambridge Univer. Press, 2005.
  42. Driscoll T.A. A MATLAB toolbox for Schwarz–Christoffel mapping // ACM Transact. Math. Soft. 1996. V. 22. P. 168–186.
  43. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. Докторская дисс. М.: ВЦ АН СССР, 1990.
  44. Власов В.И. О вариации отображающей функции при деформировании области // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 6. С. 1299–1302.
  45. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2.

Download (88KB)
Indexing metadata
3.

Download (230KB)
Indexing metadata
4.

Download (216KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 С.И. Безродных