Формулы для вычисления интегралов типа Эйлера и их приложение к задаче построения конформного отображения многоугольников

Рассматриваются интегралы типа Эйлера и тесно связанная с ними функция Лауричеллы \(F_{D}^{{(N)}}\), являющаяся гипергеометрической функцией многих комплексных переменных \({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}\). Для функции \(F_{D}^{{(N)}}\) найдены новые формулы аналитического продолжения, позволяющие представить ее в виде гипергеометрических рядов Горна, экспоненциально сходящихся в соответствующих подобластях \({{\mathbb{C}}^{N}}\), в том числе вблизи гиперплоскостей, имеющих вид \(\{ {{z}_{j}} = {{z}_{l}}\} \), \(j,l = \overline {1,N} \), \(j \ne l\). Совокупность найденных в работе формул продолжения и тождеств для \(F_{D}^{{(N)}}\) дает эффективный аппарат для вычисления этой функции и выражаемых через нее интегралов типа Эйлера во всем комплексном пространстве \({{\mathbb{C}}^{N}}\), включая сложные случаи, когда переменные образуют одну или несколько групп очень близких величин. Представлено приложение полученных результатов к решению проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца в ситуации “кроудинга” и построению конформных отображений многоугольников. Библ. 45. Фиг. 3.