Численный анализ разрушения одномерного течения полимерной жидкости с фронтом

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

На основе мезоскопического подхода впервые описаны одномерные течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости, которые по своим качественным свойствам схожи с решениями уравнения Бюргерса. Дана постановка соответствующей начально-краевой задачи для системы квазилинейных дифференциальных уравнений, разработан и верифицирован вычислительный алгоритм ее решения. Для аппроксимации неизвестных функций по времени в алгоритме используется явная схема 5-го порядка, а по пространству — дробно-рациональные барицентрические интерполяционные формулы. С применением приближений Чебышёва–Паде реализован метод локализации особых точек решения в комплексной плоскости и адаптации к ним пространственной сетки. При использовании алгоритма обнаружены и охарактеризованы два режима эволюции решения поставленной задачи: режим 1 — гладкое решение существует на достаточно большом временном интервале (особая точка движется в комплексной плоскости параллельно действительной оси); режим 2 — гладкое решение разрушается на начальных этапах эволюции (особая точка достигает отрезка действительной оси, где поставлена задача). Исследовано влияние реологических параметров жидкости на реализацию указанных режимов и на время существования гладкого решения. Полученные результаты являются важными для анализа ламинарно-турбулентных переходов в вязкоупругих полимерных средах. Библ. 39. Фиг. 7. Табл. 1.

Full Text

Restricted Access

About the authors

Л. С. Брындин

Новосибирский государственный университет; Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

Author for correspondence.
Email: l.bryndin@g.nsu.ru
Russian Federation, 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2; 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

Б. В. Семисалов

Новосибирский государственный университет; Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Email: vibis@ngs.ru
Russian Federation, 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2; 630090 Новосибирск, пр-т Акад. Коптюга, 4

В. А. Беляев

Новосибирский государственный университет; Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

Email: belyaevasily@mail.ru
Russian Federation, 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2; 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

В. П. Шапеев

Новосибирский государственный университет; Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

Email: shapeev.vasily@mail.ru
Russian Federation, 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2; 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

References

  1. Nourdine A., Flandin L., Albйrola N., Perrin L., Planиs E., Hiltnercd A., Baercd E. Extrusion of a nano-ordeRed active layer for organic photovoltaic cells // Sustain. Energ. Fuels. 2017. No. 9. P. 2016–2027.
  2. Orrill M., LeBlanc S. Printed thermoelectric materials and devices: Fabrication techniques, advantages and challenges // J. Appl. Polym. Sci. 2017. V. 134. No. 44256. P. 1–15.
  3. Hwang W., Xin G., Cho M., Cho S. M., Chae H. Electrospray deposition of polymer thin films for organic light-emitting diodes // Nanoscale Res. Lett. 2012. V. 7. No. 52. P. 1–7.
  4. Datta S. S., Ardekani A. M., Arratia P. E., Beris A. N., Bischofberger I., McKinley G.H., Eggers J. G., Lуpez-Aguilar J.E., Fielding S. M., Frishman A., Graham M. D., Guasto J. S., Haward S. J., Shen A. Q., Hormozi S., Morozov A., Poole R. J., Shankar V., Shaqfeh E. S. G., Stark H., Steinberg V., Subramanian G., Stone H. A. Perspectives on viscoelastic flow instabilities and elastic turbulence // Phys. Rev. Fluids. 2022. V. 7. No. 080701. P. 1–80.
  5. McKinley G. H., Pakdel P., Oztekin A. Rheological and geometric scaling of puRely elastic flow instabilities // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. V. 67. P. 19–47.
  6. Khalid M., Shankar V., Subramanian G. Continuous pathway between the elasto-inertial and elastic turbulent states in viscoelastic channel flow // Phys. Rev. Lett. 2021. V. 127. No. 134502. P. 1–6.
  7. Page J., Dubief Y., Kerswell R. R. Exact Traveling Wave Solutions in Viscoelastic Channel Flow // Phys. Rev. Lett. 2020. V. 125. No. 154501. P. 1–5.
  8. Choueiri G.H, Lopez J. M., Varshney A., Sankar S., Hof B. Experimental observation of the origin and structuRe of elasto-inertial turbulence // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2021. V. 118. No. 45. Art. #e2102350118. P. 1–5.
  9. Chandra B., Shankar V., Das D. Onset of transition in the flow of polymer solutions through microtubes // J. Fluid Mech. 2018. V. 844. P. 1052–1083.
  10. Garg P., Chaudhary I., Khalid M., Shankar V., Subramanian G. Viscoelastic pipe flow is linearly unstable // Phys. Rev. Lett. 2018. V. 121. No. 024502. P. 1–6.
  11. Chaudhary I., Garg P., Subramanian G., Shankar V. Linear instability of viscoelastic pipe flow // J. Fluid Mech. 2021. V. 908. No. A11. P. 1–53.
  12. Pokrovskii V. N., Altukhov Y. A., Pyshnograi G. V. The mesoscopic approach to the dynamics of polymer melts: consequences for the constitutive equation // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1998. V. 76. No. 1–3. P. 153–181.
  13. Алтухов Ю. А., Гусев А. С., Пышнограй Г. В., Кошелев К. Б. Введение в мезоскопическую теорию текучести полимерных систем. Барнаул: Изд-во АлтГПА, 2012. 116 c.
  14. Burgers J. M. Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of fRee turbulence // Proc. Acad. Sci. Amsterdam. 1940. V. 43. P. 2–12.
  15. Hon Y.C, Mao X. Z. An efficient numerical scheme for Burgers’ equation // Appl. Math. Comput. 1998. V. 95. P. 37–50.
  16. Semisalov B. V., Belyaev V. A., Bryndin L. S., Gorynin A. G., Blokhin A. M., Golushko S. K., Shapeev V. P. Verified simulation of the stationary polymer fluid flows in the channel with elliptical cross-section // Appl. Math. Comput. 2022. V. 430. No. 127294. P. 1–25.
  17. Sulem C., Sulem P-L., Frish U. Tracing complex singularities with spectral methods // J. of Comp. Phys. 1983. Vol. 50. P. 138–161.
  18. Weideman J. A.C. Computing the dynamics of complex singularities of nonlinear PDEs // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2003. V. 2. No. 2. P. 171–186.
  19. Caflisch R. E., Gargano F., Sammartino M., Sciacca V. Complex singularities and PDEs // Riv. Math. Univ. Parma. 2015. V. 6 (1). P. 69–133.
  20. Weideman J. A.C. Dynamics of Complex Singularities of Nonlinear PDEs // Recent Advances in Industrial and Applied Mathematics / Eds. T. Ch. Rebollo, R. Donat, I. Higueras. ICIAM 2019 SEMA SIMAI Springer Series. V. 1. Valencia. P. 227–247.
  21. Stahl H. R. Poles and zeros of best rational approximants of | x | // Constr. Approx. 1994. V. 10. P. 469–522.
  22. Stahl H. R. Best uniform rational approximation of xa on [0,1] // Acta Math. 2003. V. 190. P. 241–306.
  23. Suetin S. P. On the convergence of rational approximations to polynomial expansions in domains of meromorphy of a given function // Math USSR Sbornik. 1978. V. 34. No. 3. P. 367–381.
  24. Рахманов Е. А., Суетин С. П. Аппроксимации Чебышёва–Паде для многозначных функций // Тр. ММО. 2022. Т. 83. № 2. С. 101–126.
  25. TRefethen L. N., Nakatsukasa Y., Weideman J. A.C. Exponential node clustering at singularities for rational approximation, quadratuRe, and PDEs // Numerische Mathematik. 2021. V. 147. P. 227–254.
  26. Gopal A., TRefethen L. N. Rational minimax approximation via adaptive barycentric RepResentations // SIAM J. of Sci. Comput. 2018. V. 40. No. 4. P. A2427–A2455.
  27. Tee T. W., TRefethen L. N. A rational spectral collocation method with adaptively transformed Chebyshev grid points // SIAM J. Sci. Comput. 2006. V. 28. No. 5. P. 1798–1811.
  28. Идимешев С. В. Дробно-рациональная аппроксимация в начально-краевых задачах с фронтами // Вычисл. технологии. 2020. Т. 25. № 2. С. 63–79.
  29. Baltensperger R., Berrut J.-P., Noёl B. Exponential convergence of a linear rational interpolant between transformed Chebyshev points // Math. Comput. 1999. V. 68. No. 227. P. 1109–1120.
  30. Jafari-Varzaneh H. A., Hosseini S. M. A new map for the Chebyshev pseudospectral solution of diffeRential equations with large gradients // Numerical Algorithms. 2015. V. 69. P. 95–108.
  31. Семисалов Б. В., Кузьмин Г. А. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими // Труды УрО РАН. 2021. Т. 27. С. 111–124.
  32. Семисалов Б. В. Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Мат. модел. программ. 2022. Т. 15. № 4. С. 5–19.
  33. Блохин А. М., Семисалов Б. В. Стационарное течение несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением // Сиб. журнал индустр. матем. 2014. Т. 17. № 4. С. 38–47.
  34. Salzer H. E. Lagrangian interpolation at the Chebyshev points xn,v = cos(np) / n,n = O(1)n; some unnoted advantages // Computer J. 1972. V. 15. No. 2. P. 156–159.
  35. Higham N. J. The numerical stability of barycentric Lagrange interpolation // IMA J. Numer. Anal. 2004. V. 24. No. 4. P. 547–556.
  36. Schneider C., Werner W. Some new aspects of rational interpolation // Math. Comput. 1986. V. 47. No. 175. P. 285–299.
  37. Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge–Kutta formulae // J. Comput. Appl. Math. 1980. V. 6. No. 1. P. 19–26.
  38. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. 502 с.
  39. TRefethen L. N. Approximation theory and approximation practice. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2013. 305 p.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. (a) Decimal logarithm of error for fractional-rational approximation on an adaptive grid (1), for an interpolation polynomial with Chebyshev nodes (2), for interpolation by cubic splines on a uniform grid (3); (b) Bernstein ellipses for the approximated function f (dash-dotted line) and (dotted line).

Download (6KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Decimal logarithm of the relative deviations of the solutions u(t,x) (a) and a(t,x) (b) at t = 10–5 / 2, W = 10–4 and different Re equal to 10 (1), 100 (2), 1000 (3), 104 (4).

Download (5KB)
Indexing metadata
4. Fig. 3. Trajectories of motion of singular points of velocity u(t,x) (a) and function a(t,x) (b) at Re = 100, b = 0.42 and different W equal to 0.01 (-.-.-., 1 ), 0.1 (- - -, 2), 1 (dark gray, 3), 5 (black, 4), 10 (light gray, 5).

Download (27KB)
Indexing metadata
5. Fig. 4. Profiles of u (0.4, x) (a) and a (0.4, x) (b) at Re = 100, b = 42 and different W equal to 0.01 (1), 0.1 (2), 1 (3), 5 (4), 10 (5).

Download (6KB)
Indexing metadata
6. Fig. 5. Trajectories of singular points of functions u (a) and a (b) at Re = 104, b = 0.42 and different W equal to 0.1 (black color, 1), 0.05 (dark gray color, 2), 0.01 (gray color , 3), 0.005 (light gray, 4), 0.001 (-.-.-., 5), 0.0005 (- - -, 6).

Download (20KB)
Indexing metadata
7. Fig. 6. Profiles of u(0.4,x) (a) and a(0.4,x) (b) at W = 0.5, b = 0.42 and different Re equal to 10 (1), 100 (2), 104 (3).

Download (5KB)
Indexing metadata
8. Fig. 7. Profiles of u(0.4,x) (a) and a(0.4,x) (b) at W = 0.5, Re = 100 and different b equal to 0 (1), 0.14 (2), 0.42 (3), 0.7 (4), 1.26 (5).

Download (4KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences