Volume 64, Nº 1 (2024)

Вычисление одномерных интегралов возникает во многих задачах физики и техники. Для этого чаще всего используются простейшие квадратуры средних, трапеций и Симпсона на равномерной сетке. Для интегралов от периодических функций по полному периоду сходимость этих квадратур резко ускоряется и зависит от числа шагов сетки по экспоненциальному закону. В данной работе получены новые асимптотически точные оценки погрешности таких квадратур. Они учитывают расположение и кратность полюсов подынтегральной функции в комплексной плоскости. Построено обобщение этих оценок на случай, когда априорная информация о полюсах подынтегральной функции отсутствует. Описана процедура экстраполяции погрешности, которая кардинально ускоряет сходимость квадратур. Библ. 19. Фиг. 3.

В. Ф. Бутузовым и Н. Н. Нефёдовым был предложен алгоритм построения асимптотики, содержащей пограничные функции двух типов, для решения дискретной начальной задачи с малым шагом ε² и нелинейным членом порядка ε в критическом случае, т.е. вырожденное уравнение при ε = 0 не разрешимо однозначно относительно неизвестной переменной. В настоящей статье построено асимптотическое решение этой же задачи при помощи нового подхода, использующего ортогональные проекторы на ker(B(t) – I) и ker(B(t) – I)′, где B(t) — матрица, стоящая перед неизвестной переменной в линейной части рассматриваемого уравнения, I — единичная матрица соответствующего размера, штрих означает транспонирование. Такой подход значительно упрощает понимание алгоритма построения асимптотики и позволяет представить задачи для нахождения членов асимптотики любого порядка в явном виде, что очень удобно для исследователей, применяющих асимптотические методы для решения практических задач. Библ. 14. Фиг. 1.

В предыдущей публикации авторов был предложен унифицированный подход к конструированию пар матриц (T, H), решающих задачу о σ-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц. В данной статье этот подход применяется к выводу двух классов решений, полученных В. Н. Чугуновым ранее из частных соображений. Библ. 7.

Для численного решения задач оптимального управления в процессах формообразования элементов конструкций в ползучести рассматривается метод динамического программирования. Предлагается реализация разработанного метода в комплексе программ конечно-элементного анализа. Приводится анализ устойчивости данного метода. Библ. 25. Фиг. 7.

Рассматривается дифференциальное уравнение в частных производных, моделирующее движение доменной стенки при учете внешних магнитных полей и затухания. В случае постоянных коэффициентов уравнение имеет набор тривиальных решений — равновесий. Исследуются решения в виде простых (бегущих) волн, которые соответствуют динамическому переходу из одного равновесия в другое. Перечислены возможные типы волн, устойчивых в линейном приближении. Указан рецепт вычисления скорости таких волн. Библ. 26. Фиг. 8.

Построена фундаментальная матрица решений эллиптических систем второго порядка с постоянными старшими коэффициентами. С помощью нее получено интегральное представление функций, принадлежащих классу Гельдера в замкнутой области с ляпуновской границей. В случае бесконечной области эти функции подчинены степенной асимптотике на бесконечности. Данное представление применено к исследованию смешанно-контактной краевой задачи для эллиптической системы второго порядка с кусочно-постоянными ставшими коэффициентами. Эта задача редуцирована к системе интегральных уравнений, фредгольмовых в области и сингулярных на ее границе. Библ. 24.

Рассматривается новая тестовая задача для одномерных уравнений газовой динамики. Начальные данные в этой задаче представляют собой периодическую гладкую волну. За конечное время в течении газа формируются ударные волны. Исследуется сеточная сходимость двух линейных схем третьего порядка аппроксимации: бикомпактной схемы и схемы Русанова. Демонстрируется, что в области влияния ударной волны обе схемы имеют лишь первый порядок интегральной сходимости. В то же время при расчете уравнений изоэнтропической газовой динамики выбранные схемы сходятся не менее чем со вторым порядком. Библ. 38. Фиг. 6.

Рассматривается задача вариационного усвоения данных наблюдений с целью восстановления начального состояния и потоков тепла для математической модели термодинамики моря, разработанной в Институте вычислительной математики им. Г. И. Марчука РАН. Исследована чувствительность функционалов от решения к входным данным о потоке тепла на поверхности моря в рассматриваемой задаче вариационного усвоения, и приведены результаты численных экспериментов для модели динамики Черного моря. Библ. 32. Фиг. 4.