Том 64, № 7 (2024)

При приближенном решении краевых задач для уравнений с частными производными широко используются разностные методы. Наиболее просто строятся сеточные аппроксимации при разбиении расчетной области на прямоугольные ячейки. Обычно узлы сетки совпадают с вершинами ячеек. Помимо таких узловых аппроксимаций применяются также сетки с узлами в центрах ячеек. Краевые задачи удобно формулировать в терминах инвариантных операторов векторного (тензорного) анализа, которым сопоставляются соответствующие сеточные аналоги. В работе строятся аналоги операторов градиента и дивергенции на нестандартных прямоугольных сетках, узлы которых состоят как из вершин расчетных ячеек, так и их центров. Предложенный подход иллюстрируется аппроксимациями краевой задачи для стационарного двумерного уравнения конвекции-диффузии. Отмечены ключевые особенности построения аппроксимаций для векторных задач при ориентации на прикладные задачи механики твердого тела. Библ. 20. Фиг. 6.

При разработке численных методов решения нелинейных минимаксных задач возникла следующая вспомогательная задача: в выпуклой оболочке некоторого конечного множества в евклидовом пространстве найти точку, имеющую наименьшую норму. В 1971 г. Б. Митчелл, В. Демьянов и В. Малоземов предложили нестандартный алгоритм решения этой задачи, который в дальнейшем получил название MDM-алгоритма (по заглавным буквам фамилий авторов). В данной статье рассматривается конкретная минимаксная задача: найти шар наименьшего объема, содержащий заданное конечное множество точек. Она называется задачей Сильвестра и является частным случаем задачи о чебышевском центре множества. Задаче Сильвестра сопоставляется выпуклая задача квадратичного программирования с симплексными ограничениями. Для решения этой задачи в статье предлагается использовать вариант MDM-алгоритма. С его помощью строится минимизирующая последовательность планов, такая, что у соседних планов различаются только две компоненты. Номера этих компонент выбираются на основе некоторых условий оптимальности. Доказывается слабая сходимость полученной последовательности планов, из которой следует сходимость по норме соответствующей последовательности векторов к единственному решению задачи Сильвестра. Приводятся четыре характерных примера на плоскости. Библ. 10. Фиг. 23.

В работе изучаются разностные аппроксимации задачи оптимального управления с граничным наблюдением конормальной производной состояния, описываемой задачей Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах оператора конвективного переноса и нелинейном члене уравнения. Рассматриваются вопросы корректности постановки задачи оптимального управления. Строятся разностные аппроксимации задачи оптимального управления. Изучаются вопросы сходимости аппроксимаций по функционалу и управлению. Проводится регуляризация аппроксимаций. Библ. 23.

Приведены основы быстрой универсальной тригонометрической интерполяции для непериодических функций, позволяющей получить приближенное решение с высокой точностью. Получены формулы для вычисления координат точки запуска летательного аппарата (ЛА) с высокой точностью за счет одновременного применения метода универсальных быстрых тригонометрических интерполяций и метода экстраполяций на концах некоторого заданного отрезка. Численные эксперименты показывают, что после запуска первого ЛА координаты пускового механизма могут быть определены за 7 сек с точностью 10−17 м. Библ. 17. Фиг. 3. Табл. 3.

Для кинетической модели плазмы, базирующейся на уравнениях Власова—Ампера, построена неявная схема типа Мак-Кормака. По сравнению с явной схемой она имеет более слабое ограничение на устойчивость, но сохраняет прежнюю вычислительную эффективность, т.е. не использует внутренние итерации. При этом погрешность полной энергии соответствует второму порядку точности алгоритма, а полный заряд (число частиц) сохраняется на сеточном уровне. В качестве моделируемого физического процесса рассматривается формирование плазменных волн, возбуждаемых коротким мощным лазерным импульсом. Библ. 31. Фиг. 8.

Предлагаются полуаналитические аппроксимации касательной производной (КП) и нормальной производной (НП) потенциала простого слоя (ППС) вблизи границы двумерной области, выполненные в рамках коллокационного метода граничных элементов и не требующие аппроксимации координатных функций границы. Для получения аппроксимаций используются аналитическое интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния и специальный аддитивно-мультипликативный способ выделения особенностей. Доказано, что такие аппроксимации обладают более равномерной сходимостью вблизи границы области по сравнению с аналогичными аппроксимациями КП и НП ППС на основе простого мультипликативного способа выделения особенностей. Установлена одна из причин сильно неравномерной сходимости традиционных аппроксимаций КП и НП ППС на основе квадратурных формул Гаусса. Библ. 26. Табл. 2.

Статья посвящена дуализму теорий солитонных решений и решений функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Представлены основы формализма такого дуализма, центральным элементом которого является понятие солитонного букета, а также дуальная пара “функция-оператор”. В рамках такого подхода удается описать все пространство солитонных решений с заданной характеристикой, а также их асимптотику как по пространству, так и по времени. На примере модели транспортного потока на манхэттенской решетке описано все семейство ограниченных солитонных решений. Библ. 28. Фиг. 2.

Предложена система уравнений с нелинейностью относительно потенциала электрического поля и температуры, описывающая процесс нагрева полупроводниковых элементов электрической платы, причем с течением времени возможно возникновение теплового и электрического “пробоев”. В работе рассматривается метод численной диагностики разрушения решения. В процессе численного исследования этой задачи использовался подход, основанный на сведении исходной системы уравнений в частных производных к дифференциально-алгебраической системе с последующим решением этой системы с помощью одностадийной схемы Розенброка с комплексным коэффициентом. Численная диагностика разрушения точного решения указанной системы уравнений основывалась на методике вычисления апостериорной асимптотически точной оценки погрешности, получаемой при вычислении приближенного решения на последовательно сгущающихся сетках. Получены численные оценки момента времени разрушения для различных начальных условий. Библ. 34. Фиг. 3.

Для уравнения переноса в трехмерной